Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là A
Có \(a+\frac{1}{a+1}=\frac{a^2+a+1}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}+1=\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{(a+1+1)^2}{a+1+2+2}=\frac{(a+2)^2}{a+5}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và nhân theo vế:
\(\Rightarrow A\geq \frac{(a+2)^2(b+2)^2(c+2)^2}{(a+5)(b+5)(c+5)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+2)(b+2)(c+2)\geq 3\sqrt[3]{a}.3\sqrt[3]{b}.3\sqrt[3]{c}=27\sqrt[3]{abc}\geq 27\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\) (1)
Ta sẽ cm
\(\frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\geq \frac{27}{8}(*)\Leftrightarrow 8(a+2)(b+2)(c+2)\geq (a+5)(b+5)(c+5)\)
\(\Leftrightarrow 8[abc+8+2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)]\geq abc+125+5(ab+bc+ac)+25(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow 7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 61\)
BĐT trên luôn đúng theo AM_GM:
\(7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 7abc+33\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+21\sqrt[3]{abc}\geq 7+33+21=61\)
Do đó (*) đúng.
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{27}{8}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
