Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Châu Trần

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\)(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)

Lightning Farron
25 tháng 7 2017 lúc 10:50

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\dfrac{3a^2}{\sqrt{7}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3b^2}{\sqrt{7}};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3c^2}{\sqrt{7}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\dfrac{3\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{42}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Nguyễn Huy Thắng
25 tháng 7 2017 lúc 10:05

am-gm :a3/V(b2+3)+a3/V(b2+3)+(b2+3)/x tự tìm số x dựa theo Min của bài (dự đoán a=b=c=1/3)

Nguyễn Huy Thắng
25 tháng 7 2017 lúc 10:01

hint: cộng p/s đầu với 2 p/s nữa, rút gọn dc ĐPCM


Các câu hỏi tương tự
Châu Trần
Xem chi tiết
TTTT
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
Tô Thu Huyền
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Triết Phan
Xem chi tiết
Quý Thiện Nguyễn
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
TTTT
Xem chi tiết