Với a, b, c là các số nguyên dương
=> a + b > 0 ; b + c > 0 ; c + a > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a + b và c không âm, ta có:
\(\left(a+b\right)+c\ge2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{c}\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2c\sqrt[]{a+b}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)\ge2c\sqrt[]{a+b}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) (2) ;\(\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) (3)
Cộng hai vế của (1), (2), (3), ta được:
\(\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với điều kiện a, b, c là các số nguyên dương => Không thể xảy ra dấu " = "
=> ĐPCM
