Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trương Thị Hải Anh

Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}>2\)

Akai Haruma
14 tháng 3 2018 lúc 15:57

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM dạng ngược dấu (\(ab\leq (\frac{a+b}{2})^2\) )ta có:

\(\frac{b+c+d}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{(a+b+c+d)^2}{4a^2}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{b+c+d}\geq \frac{4a^2}{(a+b+c+d)^2}\)\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{b}{c+d+a}}\geq \frac{2b}{a+b+c+d}\\ \sqrt{\frac{c}{d+a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c+d}\\ \sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq \frac{2d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d=0\) (VL do $a,b,c,d$ dương)

Do đó dấu bằng không xảy ra .

Hay \(\text{VT}>2\) (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Trương Thị Hải Anh
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Nguyễn Kim Hoàng Anh
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết