Question

Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab+bc+ca=1

- C/minh : (1+a²).(1+b²).(1+c²) là bình phương của một số hữu tỉ .

Answer 1

Với ab + ac + bc = 1

Ta có: \(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

tương tự ta có: \(b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)

\(c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Do đó: \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)

= \(\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\) (đpcm)