Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
híp

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2019}\)

CMr: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\sqrt{\frac{2019}{8}}\)

Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2020 lúc 21:31

\(VT=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\)

Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\\x+y+z=\sqrt{2019}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)\)

\(VT\ge\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\frac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{2y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\right)\)

\(VT\ge\frac{1}{\sqrt{8}}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}-\left(x+y+z\right)\right]=\frac{x+y+z}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{2019}{8}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=\) nhiêu đó

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết
Võ Hồng Phúc
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Oanh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Trân
Xem chi tiết