\(P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\) ; \(Q=\frac{1}{2}\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{1}{2}ab\)
Tương tự và cộng lại: \(P\ge a+b+c-Q\Rightarrow P+Q\ge a+b+c\)
Mặt khác \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge\frac{9}{3}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.
CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Với a, b,c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ac = 6abc. Chứng minh: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c\le3\). CMR
\(a+b+c+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
1 . Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
2 .
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c\(\le\frac{3}{2}\)
Tính GTNN của P=\(\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Cho 3 số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn: \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2019\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
Cho các số dương a , b, c thỏa mãn điều kiện : a + b + c =1
CMR : \(\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}\ge\frac{1}{2}\)
Bài 1 : Với a;b;c là những số thực thỏa mãn: ab+bc+ac=abc+a+b+c
với điều kiện \(3+ab\ne2;3+bc\ne2b+c;3+ac\ne2c+a\)
CMR : \(\frac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}+\frac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}+\frac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=1\)
Bài 2 : cho a,b,c>=0, chứng minh (1+a)(1+b)(1+c)>= \(\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=1.cmr
\(\left(1-a^2\right)\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+\left(1-b^2\right)\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=2c\left(1+ab\right)\)
