Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đặng Thanh Mai

Bài 1 : Với a;b;c là những số thực thỏa mãn: ab+bc+ac=abc+a+b+c

với điều kiện \(3+ab\ne2;3+bc\ne2b+c;3+ac\ne2c+a\)

CMR : \(\frac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}+\frac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}+\frac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=1\)

Bài 2 : cho a,b,c>=0, chứng minh (1+a)(1+b)(1+c)>= \(\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

Hoàng Thị Ánh Phương
3 tháng 3 2020 lúc 16:45

Bài 1 :

Ta có : \(ab+bc+ac=abc+a+b+c\)

\(\Leftrightarrow ab-abc+bc-b+ac-a-c=0\)

\(\Leftrightarrow ab-abc+bc-b+ac-a+1-c=1\)

\(\Leftrightarrow ab\left(1-c\right)+b\left(c-1\right)+a\left(c-1\right)+\left(1-c\right)=1\)

\(\Leftrightarrow ab\left(1-c\right)-b\left(1-c\right)-a\left(1-c\right)+\left(1-c\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-c\right)\left(ab-a-b+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=1\)

Ta có thế đặt \(x=1-a;y=1-b;z=1-c\Rightarrow xyz=1\)

Nhưng trong đẳng thức cần chứng minh theo \(x;y;z\)

\(\Rightarrow\) Thế \(a=1-x;b=1-y;c=1-z\) vào được :

\(\frac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}=\frac{1}{3+\left(1-x\right)\left(1-y\right)-2\left(1-x\right)-\left(1-y\right)}=\frac{1}{1+x+xy}\)

Tương tự :

\(\frac{1}{3+ab-\left(2b+c\right)}=\frac{1}{3+\left(1-y\right)\left(1-z\right)-2\left(1-y\right)-\left(1-z\right)}=\frac{1}{1+y+yz}\)

\(\frac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=\frac{1}{3+\left(1-x\right)\left(1-z\right)-2\left(1-z\right)-\left(1-x\right)}=\frac{1}{1+z+zx}\)

Theo gt ta có xyz =1

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}\)

\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+xyz}+\frac{xy}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xy}{xy+1+x}\)

\(=\frac{1+x+xy}{1+x+xy}=1=VP\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
3 tháng 3 2020 lúc 17:00

Bài 2 :

Áp dụng BĐT AM - GM

Ta có : \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Cộng theo vế ta được :

\(\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow1+1+1\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)^3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
nam do
Xem chi tiết
cao minh thành
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết