Câu hỏi của Gió

Question

Cho a,b,c $\ge0$. CMR:

$\dfrac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}+\dfrac{b^3c}{b^4+b^2c^2+c^4}+\dfrac{c^3a}{c^4+c^2a^2+a^4}\le1$

Serena chuchoe · Accepted Answer

Theeo BĐT AM-GM ta có:

$\sum\dfrac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\le\sum\dfrac{a^3b}{2a^3b+b^4}=\sum\dfrac{a^3}{2a^3+b^3}$

Ta cần chứng minh $\sum\dfrac{a^3}{2a^3+b^3}\le1$

hay $\sum\dfrac{a^3}{a^3+2c^3}\ge1$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz có:

$\sum\dfrac{a^3}{2c^3+a^3}\ge\dfrac{\left(\sum a^3\right)^2}{\sum a^6+2\sum a^3b^3}=1$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = cCâu trả lời: Theeo BĐT AM-GM ta có:

$\sum\dfrac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\le\sum\dfrac{a^3b}{2a^3b+b^4}=\sum\dfrac{a^3}{2a^3+b^3}$

Ta cần chứng minh $\sum\dfrac{a^3}{2a^3+b^3}\le1$

hay $\sum\dfrac{a^3}{a^3+2c^3}\ge1$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz có:

$\sum\dfrac{a^3}{2c^3+a^3}\ge\dfrac{\left(\sum a^3\right)^2}{\sum a^6+2\sum a^3b^3}=1$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

§1. Bất đẳng thức