Cho △ABC có góc A=90 độ và AC>AB.Kẻ AH⊥BC.Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HB.Kẻ CE⊥AD kéo ( E ∈ tia AD).Chứng minh:
a)△ABD cân
b)Góc DAH =góc ACB
c)CB là tia phân giác của góc ACE
d)Kẻ DI ⊥ AC (I ϵAC ).Chứng minh 3 đường thẳng AH,ID,CE đồng quy
e)So sánh AC và CD
f)Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trung điểm AC
a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có
HB=HD(gt)
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHD(hai cạnh góc vuông)
⇒AB=AD(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABD có AB=AD(cmt)
nên ΔABD cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: ΔADH vuông tại H(AH⊥BC, D∈BC)
⇒\(\widehat{DAH}+\widehat{ADH}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
⇒\(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{ADH}\)
mà \(\widehat{ADH}=\widehat{ABH}\)(ΔADH=ΔABH)
nên \(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{ABH}\)
hay \(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{ABC}\)(1)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
⇒\(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAH}=\widehat{ACB}\)(đpcm)
c) Ta có: ΔCED vuông tại E(CE⊥AD)
⇒\(\widehat{ECD}+\widehat{EDC}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
⇒\(\widehat{ECB}=90^0-\widehat{EDC}\)
mà \(\widehat{EDC}=\widehat{ADH}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{ECB}=90^0-\widehat{ADH}\)
mà \(\widehat{ADH}=\widehat{ABH}\)(ΔADH=ΔABH)
nên \(\widehat{ECB}=90^0-\widehat{ABH}\)
hay \(\widehat{ECB}=90^0-\widehat{ABC}\)(3)
Từ (2) và (3) suy ra \(\widehat{ACB}=\widehat{ECB}\)
mà tia CB nằm giữa hai tia CA và CE
nên CB là tia phân giác của \(\widehat{ACE}\)(đpcm)
