Cho ∆ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM=BC=CN. Kẻ BH vuông góc với AM (H€AM), kẻ CK vuông góc với AN (K€AN). Gọi O là giao điểm của HB và KC.
a, Chứng minh AM=AN
b, Chứng minh ∆OBC cân
c, Khi BÂC=60° thì ∆OBC là tam giác gì?
d, Chứng minh HK//MN
e, Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm A, I, O thẳng hàng
g, Khi BÂC=60° thì ∆AON là tam giác gì ?
GIÚP MÌNH VS Ạ! CÒN 2 NGÀY NỮA LÀ THI RỒI 😭😭😭 MONG MN GIÚP MÌNH 😊😊😊
a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
MB=NC(gt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
⇒AM=AN(hai cạnh tương ứng)
b) Xét ΔHMB vuông tại H và ΔKNC vuông tại K có
MB=NC(gt)
\(\widehat{M}=\widehat{N}\)(ΔABM=ΔACN)
Do đó: ΔHMB=ΔKNC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒\(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{HBM}=\widehat{OBC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{KCN}=\widehat{OCB}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(định lí đảo của tam giác cân)
c) Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(đkct)
nên ΔABC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒\(\widehat{ABC}=60^0\)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)
hay \(\widehat{ABM}=180^0-60^0=120^0\)
Ta có: ΔABC đều(cmt)
⇒AB=BC
mà BC=BM(gt)
nên AB=BM
Xét ΔABH vuông tại H và ΔMBH vuông tại H có
AB=BM(cmt)
BH là cạnh chung
Do đó: ΔABH=ΔMBH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{ABH}=\widehat{MBH}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{ABH}+\widehat{MBH}=\widehat{ABM}=120^0\)(tia BH nằm giữa hai tia BA,BM)
nên \(\widehat{HBM}=\frac{120^0}{2}=60^0\)
mà \(\widehat{HBM}=\widehat{OBC}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{OBC}=60^0\)
Xét ΔOBC cân tại O có \(\widehat{OBC}=60^0\)(cmt)
nên ΔOBC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
d) Ta có: ΔHBM=ΔKCN(cmt)
⇒HM=KN(hai cạnh tương ứng)
Ta có: HM+AH=AM(H nằm giữa A và M)
KN+AK=AN(K nằm giữa A và N)
mà AM=AN(cmt)
và HM=KN(cmt)
nên AH=AK
Xét ΔAHK có AH=AK(cmt)
nên ΔAHK cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
hay \(\widehat{AHK}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAHK cân tại A)(1)
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
hay \(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AHK}=\widehat{AMN}\)
mà \(\widehat{AHK}\) và \(\widehat{AMN}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên HK//MN(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
e) Ta có: AB=AC(gt)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: IB=IC(I là trung điểm của BC)
nên I nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: OB=OC(ΔOBC cân tại O)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra A,I,O thẳng hàng(đpcm)
