Cho △ABC cân tại A, AH là tia phân giác của góc BAC.
a) Chứng minh AH là đường trung trực của BC
b) Cho BC = 10 cm, AH=12cm. Tính chu vi của△ ABC.
c)Vẽ tia Ax vuông góc với AB( tia Ax và điểm C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Tia phân giác của góc ABC cắt AH và tia Ax lần lượt ở M và N. CM △ AMN cân
a) Xét ΔABH và ΔACH có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
AH chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(c-g-c)
Suy ra: BH=CH(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BH=CH(cmt)
nên H nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC(đpcm)
b) Ta có: BH=HC(cmt)
mà BH+HC=BC(H nằm giữa B và C)
nên \(BH=CH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)
Ta có: AH là đường trung trực của BC(cmt)
nên AH\(\perp\)BC tại H
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+HB^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=5^2+12^2=169\)
hay AB=13(cm)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
mà AB=13cm(cmt)
nên AC=13cm
Chu vi của tam giác ABC là:
\(C_{ABC}=AB+AC+BC=13+13+10=36\left(cm\right)\)
c) Ta có: AH\(\perp\)BC tại H(cmt)
nên MH\(\perp\)BC tại H
Ta có: ΔMHB vuông tại H(MH\(\perp\)BC tại H)
nên \(\widehat{HBM}+\widehat{HMB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{CBM}+\widehat{HMB}=90^0\)
mà \(\widehat{CBM}=\widehat{ABM}\)(BM là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
nên \(\widehat{ABM}+\widehat{HMB}=90^0\)
mà \(\widehat{HMB}=\widehat{AMN}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{ABM}+\widehat{AMN}=90^0\)
hay \(\widehat{ABN}+\widehat{AMN}=90^0\)(3)
Ta có: ΔANB vuông tại A(AN\(\perp\)AB tại A)
nên \(\widehat{ABN}+\widehat{ANB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ABN}+\widehat{ANM}=90^0\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Xét ΔAMN có \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)
