Question

Cho a,b,c > 0 và a + 2b + 3c > hoặc bằng 20 . Tìm min của \(A=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)

Answer 1

Lời giải:

Biến đổi $A$ :

\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}=\frac{1}{4}(a+2b+3c)+\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left (\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left (\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{4}(a+2b+3c)\geq \frac{20}{4}=5\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\left\{\begin{matrix} \frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\geq 3\\ \frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\geq 3\\ \frac{c}{4}+\frac{4}{c}\geq 2\end{matrix}\right.\)

Do đó \(A\geq 5+3+3+2=13\) hay \(A_{\min}=13\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=4\end{matrix}\right.\)

Mấu chốt của bài toán là cách tìm điểm rơi.