Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cherry Nguyen

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c \(\ge\) 20 . Tìm GTLN của

A = a + b + c + \(\dfrac{3}{a}\) + \(\dfrac{9}{2b}\) + \(\dfrac{4}{c}\)

Nghiêm Thị Hồng Nhung
4 tháng 5 2017 lúc 21:53

ta có A= a+b+c+\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)

= \(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{4}+\dfrac{3c}{4}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)

=\(\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}\right)+\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}\)

vì a,b,c >0 ===> \(\dfrac{3a}{4}>0,\dfrac{3}{a}>0,\dfrac{b}{2}>0,\dfrac{9}{2b}>0,\dfrac{c}{4}>0,\dfrac{4}{c}>0\)

áp dụng BĐT côsi cho các cặp số dương ta đc:

\(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}>=2.\sqrt{\dfrac{3a}{4}.\dfrac{3}{a}}=3\)

\(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}>=3\)(làm như trên nhá)

\(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}>=2\)

===> \(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}>=8\left(1\right)\)

có: \(\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}=\dfrac{a+2b+3c}{4}\)

mà a+2b+3c >= 20

===> \(\dfrac{a+2b+3c}{4}>=\dfrac{20}{4}=5\)

===> \(\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}>=5\left(2\right)\)

từ (1) và(2)===> a+b+c+\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}>=13\)

===> A >= 13

Dấu ''='' xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3a}{4}=\dfrac{3}{a}\\\dfrac{b}{2}=\dfrac{9}{2b}\\\dfrac{c}{4}=\dfrac{4}{c}\\a+2b+3c=20\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)

Vậy Min A=13 <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
wcdccedc
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
Hoàng Vân Anh
Xem chi tiết
Dương Tuyết Ánh
Xem chi tiết
Tú Triệu Anh
Xem chi tiết
Dương Đôrêmon
Xem chi tiết
Pun Cự Giải
Xem chi tiết
Trọng Chi Ca Vâu
Xem chi tiết