Question

Cho a>0; b>0 và a+b+1 = 8ab

Tìm GTNN của A= \(\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\)

Answer 1

Từ giả thiết:

\(a+b+1=8ab\le2\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-1\le0\)

\(\Rightarrow\left(a+b-1\right)\left(2a+2b+1\right)\le0\)

\(\Rightarrow a+b-1\le0\) (do \(2a+2b+1>0\))

\(\Rightarrow1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)

Ta có:

\(A=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\dfrac{2ab}{a^2b^2}=\dfrac{2}{ab}\ge2.4=8\)

\(A_{min}=8\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)