Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Agami Raito

Cho a,b,c > 0 và 3+ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Chứng minh rằng : \(\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{4b+c+a}+\frac{1}{4c+a+b}\)\(\frac{1}{6}\)

( Giải theo chương trình lớp 8 giùm mình nhé !! )

Akai Haruma
24 tháng 3 2019 lúc 22:39

Lời giải:

Lớp 8 thì chắc bạn học BĐT Bunhiacopxky rồi.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)(1+1+1)\geq \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq 4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

Đặt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=x\Rightarrow 3+x\geq 4x^2\)

\(\Leftrightarrow 4x^2-x-3\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (4x+3)(x-1)\leq 0\Rightarrow x\leq 1\) hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1(*)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(a+a+a+a+b+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{4a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{a+4b+c}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\geq \frac{36}{a+b+4c}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ở trên và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\leq \frac{1}{6}.1=\frac{1}{6}\) (theo $(*)$)

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$


Các câu hỏi tương tự
Agami Raito
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
Tớ Thích Cậu
Xem chi tiết
Bi Bi
Xem chi tiết
sjbjscb
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Khoa
Xem chi tiết