Question

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn

\(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}\)

Chứng minh rằng : a² + b² + c² = \(\frac{3}{2}\)

Answer 1

Áp dụng bđt bunhiacopski cho 3 số ta có

\(\left(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1-a^2+1-b^2+1-c^2\right)\Leftrightarrow\frac{9}{4}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\)(1)

Đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)

Vậy (1)\(\Leftrightarrow\frac{9}{4}\le k\left(3-k\right)\Leftrightarrow\frac{9}{4}\le3k-k^2\Leftrightarrow k^2-3k+\frac{9}{4}\le0\Leftrightarrow\left(k-\frac{3}{2}\right)^2\le0\)

Vì \(\left(k-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

Suy ra \(\left(k-\frac{3}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow k-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow k=\frac{3}{2}\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)