Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bánh Mì

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{2+c\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{2+a\sqrt{c}}\ge1\)

Akai Haruma
28 tháng 5 2020 lúc 10:30

Lời giải:
Do $abc=1$ nên đặt:

\((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x})\) với $x,y,z>0$

Khi đó, bài toán trở thành: Cho $x,y,z>0$. CMR:

\(\frac{xz^2}{2z^2y+xy^2}+\frac{yx^2}{2x^2z+yz^2}+\frac{zy^2}{2y^2x+zx^2}\geq 1\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{xz^2}{2z^2y+xy^2}+\frac{yx^2}{2x^2z+yz^2}+\frac{zy^2}{2y^2x+zx^2}=\frac{(xz)^2}{2xyz^2+(xy)^2}+\frac{(xy)^2}{2x^2yz+(yz)^2}+\frac{(yz)^2}{2xy^2z+(xz)^2}\)

\(\geq \frac{(xz+xy+yz)^2}{2xyz^2+(xy)^2+2x^2yz+(yz)^2+2xy^2z+(xz)^2}=\frac{(xy+yz+xz)^2}{(xy+yz+xz)^2}=1\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$

Bánh Mì
28 tháng 5 2020 lúc 16:22

thank youhaha


Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Kem Bánh
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Ngọc Hà
Xem chi tiết
Nghiêm Thị Nhân Đức
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Lê Mỹ Dung
Xem chi tiết
cielxelizabeth
Xem chi tiết