Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)(a^2+b^2+2ab)\geq (1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow P(a+b)^2\geq 4\Rightarrow P\geq \frac{4}{(a+b)^2}\)
Mà \(0< a+b\leq 4\Rightarrow (a+b)^2\leq 16\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{4}{(a+b)^2}\geq \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN của $P$ là $\frac{1}{4}$ khi $a=b=2$
cho a > 0 ; b > 0 và a + b ≤ 4. Tìm GTNN của biểu thức P = \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. TÌM GTNN của biểu thức: A=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
2. Cho a, b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức S=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
3. CHo x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk: x+y+z≤ 6.
CM: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) ≥ \(\frac{3}{2}\).
4. Cho 4 số dương a, b,c, d . CMR \(a^4+b^4+c^4+d^4\) ≥ 4abcd.
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của biểu thức \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
Cho 3 số phân biệt a,b,c thỏa mãn a,b,c khác , 1/a +1/b+1/c=0
Rút gọn biểu thức A= \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Cho 3 số phân biệt a,b,c từng đôi một khác nhau thỏa mãn:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Rút gọn biểu thức:
\(\:N=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Cho biểu thức: \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
a, Nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thì M>1
b, Nếu M=1 thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng -1
Cho a,b,c là các số dương t/m a+b+c=3.Tìm GTNN của biểu thức ; \(P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng cách biến đổi tương đương:
a) Cho 1\(\le t\le\) 2. CMR: \(\frac{t^2}{2.t^2+3}+\frac{2}{1+t}\ge\frac{34}{33}\)
b) Chứng minh với mọi số duong a, b ta luôn có \(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\)
a. Tìm các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a\le b\le c\) và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P=a+b^{2019}+c^{2020}\)
b. Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho \(p^r+p^q\) là 1 số chính phương.
c.Cho 3 số dương a, b,c thỏa mãn abc=1.
CMR \(\frac{a^2b^2}{a^2+a^2b^2+b^2}+\frac{b^2c^2}{b^2+b^2c^2+c^2}+\frac{a^2c^2}{a^2+a^2c^2+c^2}\le1\)
