Vừa lúc đang kiếm bđt :))
Đặt \(A=\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}\)
\(A=\dfrac{4}{2ab}+\dfrac{4}{a^2+b^2}-\dfrac{1}{a^2+b^2}\)
Áp dụng hệ quả của bđt AM-GM ta có:
\(A=4\left(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\right)-\dfrac{1}{a^2+b^2}\ge4\cdot\dfrac{4}{2ab+a^2+b^2}-\dfrac{1}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}=16-2=14\)
"="<=>a=b=0,5
=>đpcm
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=1\). Chứng minh: \(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=1\). Chứng minh: \(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{15}{4}\)
Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2+bc}{b+ca}+\dfrac{b^2+ca}{c+ab}+\dfrac{c^2+ab}{a+bc}\ge3\)
Cho a, b c > 0 thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\ge3\)
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3\)
Cho a,b>0 thoả mãn: a+b=1. CMR: \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}\ge14\)
Cho a, b khác 0 thỏa mãn a+b=1. Chứng minh :\(\dfrac{a}{b^3-1}+\dfrac{b}{a^3-1}=\dfrac{2\left(ab-2\right)}{a^2b^2+3}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn \(a+b+c\le\sqrt{3}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
cho a,b,c >0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) chứng minh rằng \(\dfrac{a}{ab+3}+\dfrac{b}{bc+3}+\dfrac{c}{ca+3}\le\dfrac{3}{4}\)
