Lời giải:
Thực hiện biến đổi tương đương:
\(ab(a^2+b^2)\leq \frac{(a+b)^4}{8}\)
\(\Leftrightarrow 8ab(a^2+b^2)\leq (a+b)^4\)
\(\Leftrightarrow 8ab(a^2+b^2)\leq (a^2+b^2+2ab)^2\)
\(\Leftrightarrow 8ab(a^2+b^2)\leq (a^2+b^2)^2+(2ab)^2+4ab(a^2+b^2)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2+(2ab)^2-4ab(a^2+b^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2-2ab)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^4\geq 0\) (luôn đúng với mọi số thực $a,b$)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
Ta có : \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
Cộng \(a^4+b^4\) vào 2 vế ta đc: \(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\) (1)
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)
Cộng cả 2 vế với \(a^2+b^2\) ta đc: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)\(^{_{ }\Rightarrow}\)\(\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^4\) (2)
Từ (1),(2)=> đpcm
