Question

Cho a,b thỏa mãn điều kiện: a,b > 0 và a^2 + b^2 =2

CMR: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\) ≥ 4

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\leq 1(1)$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\leq 2+2.1\Rightarrow a+b\leq 2$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{2}=2(2)$

Do đó:

\((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2})=\frac{(a^2+b^2)(a^3+b^3)}{(ab)^3}=\frac{2(a^3+b^3)}{(ab)^3}\geq \frac{2.2}{1^3}=4\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$