\(A=\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2018\left(a^4+b^4\right)\)
\(=6\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{16}{ab}+2018\left(a^4+b^4\right)\)
\(\ge\frac{24}{\left(a+b\right)^2}+\frac{64}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2018\left(a+b\right)^4}{8}=24+64+\frac{2018}{8}=\frac{1361}{4}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{1361}{4}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)=6\)
Tìm GTNN của \(A=\frac{bc}{a\left(2b+c\right)}+\frac{ac}{b\left(2a+c\right)}+\frac{4ab}{c\left(a+b\right)}\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(a+b+c\le2\)
Tìm GTNN của \(A=21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+2015\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
CHo a b c d là các số thực . Chứng minh các bất đẳng thức :
a, \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
b, \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
c, \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2^{ }}\right)^3\) với a,b >0
d, \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
e, \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\) với ab>0
f, \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) với a,b \(\ne\) 0
Tìm GTNN của
1.\(B=a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\) với a>b>0
2. \(C=a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\) với a>b>1
cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm GTNN của biều thức sau : P=\(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\)
Cho a,b thỏa mãn điều kiện: a,b > 0 và a^2 + b^2 =2
CMR: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\) ≥ 4
cho a b c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức :
1, \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
2, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\)
3, ( 1+a+b) (a+b+ab) \(\ge9ab\)
4, \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8\ge64ab\left(a+b\right)^2\)
5, \(3a^3+7b^3\ge9ab^2\)
6, \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\)
1/cho số a >0 tìm GTNN của P = 2a +\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{16}{a+2}\)
2/ cho a,b,c là số thực ϵ [0;\(\frac{1}{4}\)) chứng minh:
\(\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\)
3/ cho các số dương a,b,c tỏa abc = 1. Chứng minh
\(\frac{1}{a^2c+b^2c+1}+\frac{1}{b^2a+c^2a+1}+\frac{1}{c^2b+a^2b+1}\le1\)
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: 9(a4 + b4 + c4) \(\ge\) a2 + b2 + c2.
2) Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 1. CMR: \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^4+\left(1+\frac{1}{y}\right)^4+\left(1+\frac{1}{z}\right)^4\ge768\)
