Question

Cho A=1/11+1/12+1/13+...+1/40 . Chứng minh A không phải là số tự nhiên

Answer 1

Giải

Phân số cuối cùng là phân số duy nhất có mẫu chứa thừa số 2 với số mũ cao nhất là 2³. Khi quy đồng mẫu thì mẫu số chung là một số mà chia hết cho 2³ , các thừa số phụ đều chia hết cho 2 trừ thừa số phụ của phân số cuối cùng . Do đó tổng các tử mới không chia hết cho 2 mà mẫu mới lại chia hết cho 2

=> A không phải là số tự nhiên .

Answer 2

Bạn nghĩ cách c/m nó bị kẹt giữa 2 số tự nhiên liên tiếp là dc :x :x

Answer 3

Ta có :

\(\left(+\right)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{11}>\frac{1}{20}\\\frac{1}{12}>\frac{1}{20}\\....\\\frac{1}{20}=\frac{1}{20}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+....+\frac{1}{20}>\frac{1}{20}.10=\frac{1}{2}\)

\(\left(+\right)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{21}>\frac{1}{40}\\\frac{1}{22}>\frac{1}{40}\\....\\\frac{1}{40}=\frac{1}{40}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+....+\frac{1}{40}>\frac{1}{40}.20=\frac{1}{2}\)

=> A > 1

Mặt khác :

\(\left(+\right)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{11}< \frac{1}{10}\\\frac{1}{12}< \frac{1}{10}\\...\\\frac{1}{20}< \frac{1}{10}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{20}< \frac{1}{10}.10=1\)

\(\left(+\right)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{21}< \frac{1}{20}\\\frac{1}{22}< \frac{1}{20}\\....\\\frac{1}{40}< \frac{1}{40}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+....+\frac{1}{40}< \frac{1}{20}.20=1\)

=> A < 2

=> 1<A<2

=> A không phải là số tự nhiên

Answer 4

Bài này có khoảng gần 20 cách làm ( hoặc hơn) xúc tích và ngắn gọn, những cách lm này có thể áp dụng cho 1 số bài tổng quát (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n với n thuộc N; n > 1)

- Chứng minh tử lẻ mẫu chẵn bằng cách chọn mẫu chung chứa lũy thừa của 2 với số mũ lớn nhất có trong dãy, như bn kia đã trình bày ở dưới

- Chứng minh tử không chia hết cho 1 thừa số nguyên tố bất kì có trong mẫu của các phân số trong dãy với lũy thừa lớn nhất, mẫu có chia hết

Sau đây là 1 cách làm cụ thể:

Ta thấy các phân số của tổng A có mẫu chứa lũy thừa của 3 với số mũ lớn nhất là 3^3

Như vậy, sau khi quy đồng tử số của các phân số có trong A đều chia hết cho 3

Chỉ có phân số 1/27 có tử không chia hết cho 3

Sau khi quy đồng, A có tử không chia hết cho 3, mẫu chia hết cho 3, không là STN

Đối với bài tổng quát thì giả sử số đó là 3^k

- Đối với bài cụ thể nếu được thì tìm thừa số nguyên tố lớn nhất chứa trong mẫu của các phân số ( cách làm gần tương tự như trên)