Ta có: (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2=(a-c+b-c)2+(b-a+c-a)2 +(c-b+a-b)2.
Đặt a-b=x; b-c=y; c-a=z thì ta có:x+y+z=0,→ x2+y2+z2=(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=2(x2 +y2 +z2)-2(yz+xz+yx)
→x2 +y2 +z2+2(xy+yz+xz)=2(x2 +y2 +z2)
hay(x+y+z)2=2(x2 +y2 +z2). Mà x+y+z=0 nên→ x2+y2+z2=0,
→(a-b)2+(b-c)2 +(c-a)2=0↔a-b=b-c=c-a=0→a=b=c(đpcm)
Cho a,b,c là độ dài của 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh : \(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)
Cho a^2 + b^2 + c^2 = m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m:
A= ( 2a + 2b - c)^2 + ( 2b + 2c - a)^2 + ( 2c + 2a - b)^2
CHO a,b,c > 0 thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}\)
4)CMR nếu (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2 thì a=b=c
1. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác sao cho a+b+c=2
CM:a^2+b^2+c^2+2abc < 2
2. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác
CM: B=a^4+b^4+c^4-2a^2.b^2-2b^2.c^2-2c^2.a^2 < 0
3. Cho a,b,c dương biết a,b,c khác nhau
CM: A=a^3+b^3+c^3-3abc > 0
Chứng minh:
a. (a - 1)(a - 2) + (a - 3)(a + 4) - 2(2a2 + 5a - 34) = -7a + 24
b. (a +c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b + c)(a - b - c) = 0
c. (a -b)(a2 + ab + b2) - (a +b)(a2 - ab + b2) = -2b3
cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
a, a3+b3+c3+2abc<a2+(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
b, (a+b+c)2<=9bc. với a<=b<=c
c, 2a2b2+2b2c2+2a2c2-a4-b4-c4>0
d,4a2b2>(a2+b2-c2)2
4)CMR nếu (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2 thì a=b=c
Cho a,b,c là 3 số dương và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}\)
Chứng minh rằng:\(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\ge4\)
