Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngoan Trần

cho a, b, c thỏa mãn \(a^2+2b^2+3c^{2^{ }}=3abc\)Tính giá trị của biểu thức P = \(3a+2b+c+\dfrac{8}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{4}{c}\)

Lightning Farron
3 tháng 4 2017 lúc 19:42

Sửa đề: Cho thêm a,b,c dương

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+2b^2+3c^2\ge6\sqrt[6]{a^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot c^2\cdot c^2\cdot c^2}=6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\)

\(\Rightarrow3abc\ge6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\Leftrightarrow abc\ge2\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\)

\(\Leftrightarrow a^6b^6c^6\ge64a^2b^4c^6\Leftrightarrow a^4b^2\ge64\Leftrightarrow a^2b\ge8\)

\(\Rightarrow2\le\sqrt[3]{a\cdot a\cdot b}\le\dfrac{2a+b}{3}\Leftrightarrow2a+b\ge6\)

Khi đó ta có: \(P=2a+\dfrac{8}{a}+\dfrac{3b}{2}+\dfrac{6}{b}+c+\dfrac{4}{c}+\dfrac{2a+b}{2}\)

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge2\sqrt{2a\cdot\dfrac{8}{a}}+2\sqrt{\dfrac{3b}{2}\cdot\dfrac{6}{b}}+2\sqrt{c\cdot\dfrac{4}{c}}+\dfrac{6}{2}\left(2a+b\ge6\right)\)

\(=2\sqrt{16}+2\sqrt{9}+2\sqrt{4}+3=8+6+4+3=21\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)


Các câu hỏi tương tự
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
TTTT
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
Khanh7c5 Hung
Xem chi tiết
๖ۣۜTina Ss
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết