Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phan thị minh anh

cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2=3\)

c/m : \(\dfrac{a}{a^2+2b+3}+\dfrac{b}{b^2+2c+3}+\dfrac{c}{c^2+2a+3}\le\dfrac{1}{2}\)

Lightning Farron
25 tháng 5 2017 lúc 23:00

Ta có: \(a^2+2b+3=a^2+2b+1+2\ge2\left(a+b+1\right)\)

Tương tự ta được: \(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1}\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-b-1}{a+b+1}+\dfrac{-c-1}{b+c+1}+\dfrac{-a-1}{c+a+1}\le-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\dfrac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}+\dfrac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge2\left(1\right)\)

Cần chứng minh BĐT (1) đúng

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c+3\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3}\)

\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+9\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2\)\(\Rightarrow VT\left(1\right)\ge2=VP\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
Sóc nâu
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
THÁNH TOÁN
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Bertram Đức Anh
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết