Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan PT

Cho a,b,c >0 thỏa \(a^2+b^2+c^2=1.CMR:\)

\(P=\dfrac{bc}{a^2+1}+\dfrac{ca}{b^2+1}+\dfrac{ab}{c^2+1}\le\dfrac{3}{4}\)

Akai Haruma
26 tháng 1 2021 lúc 13:47

Lời giải:Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, ta có:

\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2+a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2+a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}$

 


Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Sóc nâu
Xem chi tiết
THÁNH TOÁN
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Huyền
Xem chi tiết
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết