Question

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab + bc + ac=3abc.

Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức:

K= \(\dfrac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\)

Answer 1

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

\(K=\dfrac{z^3}{x^2+z^2}+\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\)

Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{2x-y}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2x^3\ge2x^3-x^2y+2xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

Tương tự: \(\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{2y-z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{2z-x}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(K\ge\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)