Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác

CMR: \(\left|\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)-\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\right|< 1\)

Khôi Bùi
24 tháng 3 2019 lúc 10:38

Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :

\(\left|\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)< 1\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a}\right|< 1\)

\(\Leftrightarrow\left|\frac{\left(a-c\right)ac+\left(b-a\right)ab+\left(c-b\right)bc}{abc}\right|< 1\)

Lại có : \(\left(a-c\right)ac+\left(b-a\right)ab+\left(c-b\right)bc\)

\(=\left(a-c\right)ac-\left(a-c+c-b\right)ab+\left(c-b\right)bc\)

\(=\left(a-c\right)\left(ac-ab\right)-\left(c-b\right)\left(ab-bc\right)\)

\(=a\left(a-c\right)\left(c-b\right)-b\left(c-b\right)\left(a-c\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow\left|\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\right|< 1\) ( 1 )

Mặt khác : a ; b ; c là 3 cạnh tam giác

=> \(\frac{\left|a-c\right|}{b}< 1;\frac{\left|b-a\right|}{c}< 1;\frac{\left|c-b\right|}{a}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{\left|\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(c-b\right)\right|}{abc}< 1\) ( 2 )

Biểu thức trong giá trị tuyệt đối của ( 1 ) ; ( 2 ) đối nhau

=> từ ( 2 ) => (1)

=> Điều giả sử là đúng

=> ĐPCM


Các câu hỏi tương tự
Lê Vũ Anh Thư
Xem chi tiết
Phú Thái
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Vũ Phương Thảo
Xem chi tiết
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Ngô Tấn Đạt
Xem chi tiết