Question

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\) ≤ 1

Answer 1

Với các số dương

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng:

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(VT\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{bc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(VT\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)