Question

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+c}+\frac{c}{c^3+a^2+c}\) ≤ 1

Answer 1

Bạn coi lại đề, sao tất cả các mẫu số đều là c thế kia? Có vẻ ko hợp lý

Answer 2

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^2+c\right)\left(ac+a+1\right)}{a}\ge9\Rightarrow\frac{a}{a^3+b^2+c}\le\frac{ac+a+1}{9}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b}{b^3+c^2+a}\le\frac{ab+b+1}{9}\) ; \(\frac{c}{c^3+a^2+b}\le\frac{bc+c+1}{9}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{a+b+c+ab+bc+ca+3}{9}=\frac{6+ab+bc+ca}{9}\)

\(VT\le\frac{6+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)