Question

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn abc=1 và \(a^3\) >36. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\left(b^2+c^2-bc\right)>b+c-\frac{a}{3}\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-bc>\left(b+c-\frac{a}{3}\right):\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-bc>ab+ac-\frac{a^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca-b^2-c^2< \frac{a^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow4a^2-12ab-12ac-12bc+4b^2+4c^2>0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+4b^2+4c^2-4ab+8bc-4ca\right)+a^2-36bc>0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-2b-2c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{a}>0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-2b-2c\right)^2+\frac{a^3-36}{a}>0\) ( luôn đúng do a^3 > 36 )

Do đó ta có đpcm