Question

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Cmr:

a²( b+c-a)+ b²( c+ a- b) + c²( a+ b- c) < 3abc

Giúp mình nhé, nghĩ mãi không ra!

Answer 1

giả sử: \(a>b>c>0\)

Xét hiệu:

\(3abc-a^2\left(b+c-a\right)-b^2\left(c+a-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\)

\(=3abc+a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2-ba^2-cb^2-ba^2\)

\(=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)-c\left(a+b\right)^2+c\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)-c\left(a-b\right)^2+c\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+c\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

Ta có:

\(a>b>c\Rightarrow a-b>0;a+b>0;b>c;a>c\)

=> Luôn đúng