Question

Cho a + b + c = 1 (a,b,c ≥0)

Cmr: ab + bc + ac ≤ \(\frac{2}{7}+\frac{9abc}{7}\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow2+9abc\ge7\left(ab+bc+ca\right)\)(1)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}abc=r\\ab+bc+ca=q\\a+b+c=p\end{matrix}\right.\)

Ta có:\(r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\)(cái này bạn gõ schur trên gg là ra)

\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\)

\(\Rightarrow2+9r\ge2+4q-1=1+4q\)

Lại có:\(3q\le p^2=1\)(bạn tự chứng minh)

\(\Rightarrow1+4q\ge3q+4q=7q\)

\(\Rightarrow2+9r\ge7q\left(đpcm\right)\)

"="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)