Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Khôi Bùi

Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2+2abc=1\)

Tìm giá trị lớn nhất : M = a + b + c

@Akai Haruma

Akai Haruma
25 tháng 2 2019 lúc 14:18

Lời giải:
Từ điều kiện đã cho của $a,b,c$, tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

\((a,b,c)=\left(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}; \frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}; \frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)\)

Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(M=a+b+c=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

hay \(M\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Akai Haruma
25 tháng 2 2019 lúc 14:26

Cách khác:
Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+2abc=1\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+2abc=1\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2+2(ab+bc+ac)-2(a+b+c)-2abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2[1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc]\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2(1-a)(1-b)(1-c)\) (đây là đẳng thức khá quen thuộc)

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu:

\((a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2(1-a)(1-b)(1-c)\leq 2\left(\frac{1-a+1-b+1-c}{3}\right)^3=\frac{2[3-(a+b+c)]^3}{27}\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1\leq \frac{2(3-t)^3}{27}\) (đặt \(a+b+c=t\))

\(\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (2t-3)(t+3)^2\leq 0\Rightarrow 2t-3\leq 0\Rightarrow t=M=a+b+c\leq \frac{3}{2}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Khôi Bùi
25 tháng 2 2019 lúc 13:11

Akai Haruma

tthnew
23 tháng 2 2020 lúc 16:22

Ý tưởng khác:

Nếu \(c\ge1\): \(1=a^2+b^2+c^2+2abc\ge\left(a+b\right)^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{2}< \frac{3}{2}\)

Nếu \(0< c\le1\)

\(3\left(6-4M\right)=3\left[6-4\left(a+b+c\right)\right]+8\left(a^2+b^2+c^2+2abc-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(4a+4bc-3\right)^2+\frac{2\left(2c-1\right)^2\left(2c+1\right)}{c+1}+\frac{\left(1-c\right)\left(4bc+4b-3\right)^2}{c+1}\right]\ge0\)

\(\Rightarrow M\le\frac{3}{2}\). Như vậy, với mọi trường hợp của c, ta đều có \(M=a+b+c\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

P/s: Em mới nghĩ ra cách này cô Akai Haruma check giúp em ạ!

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Trọng tâm Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Lý
Xem chi tiết
hoàng thiên
Xem chi tiết
Phan Trân Mẫn
Xem chi tiết
Uyên Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Lý
Xem chi tiết
Tai Le
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Minh
Xem chi tiết