Ôn tập toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Vô Tâm

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b +c =3

Chứng minh : \(\dfrac{a}{b^2+1}\)+\(\dfrac{b}{c^2+1}\)+\(\dfrac{c}{a^2+1}\) \(\ge\) \(\dfrac{3}{2}\)

Lightning Farron
20 tháng 3 2017 lúc 21:40

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Lại có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)

Bất đẳng thức ban đầu tương đương với:

\(\dfrac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\dfrac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b^2+1\right)+b\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+1\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(b^2+1\right)\ge a\cdot2\sqrt{b^2}=2ba\\b\left(c^2+1\right)\ge b\cdot2\sqrt{c^2}=2cb\\c\left(a^2+1\right)\ge c\cdot2\sqrt{a^2}=2ac\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(ab+bc+ca\le3\)\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Kuro Kazuya
21 tháng 3 2017 lúc 12:44

\(VT=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\)

\(VT=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+1}\)

\(VT=3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\c^2+1\ge2\sqrt{c^2}=2c\\a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\\\dfrac{bc^2}{c^2+1}\le\dfrac{bc^2}{2c}=\dfrac{bc}{2}\\\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ca^2}{2a}=\dfrac{ca}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) (1)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\le3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)(2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Trân Vũ
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Miamoto Shizuka
Xem chi tiết
Mai Thị Phương Linh
Xem chi tiết
Thu Hà Nguyễn
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Pha
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết