Question

Cho a + b = 1. C/m a² + b² ≥ \(\dfrac{1}{2}\)
Giúp mình bài này với nha, mình xin cảm ơn (tại mình chưa được học mấy cái BĐT Cauchy gì đó nên giải theo cách thông thường thôi nha)

Answer 1

a+b=1=> (a+b)²=1 => a²+2ab+b²=1 (*)

ta lại có

(a-b)² ≥ 0

<=> a²-2ab+b² ≥ 0 (**)

cộng (*) với (**)

a²+a²-2ab+2ab+b²+b² ≥ 1

<=> 2(a²+b²) ≥ 1

<=> a²+b² ≥ \(\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Answer 2

Áp dụng BĐT bunhiacopxki , ta có :

( m² + n² )( x² + y² ) ≥ ( mx + ny )²

⇒ ( a² + b² )( 1² + 1² ) ≥ ( a + b)²

⇔ 2( a² + b²) ≥ 1²

⇔ a² + b² ≥ \(\dfrac{1}{2}\)