Question

Cho: A= 4...48...89 ( 2017 chữ số 4, 2016 chữ số 8). CMR: A là số chính phương

Answer 1

Gọi 2017 số là a còn 2016 số là a-1 ( dưới dạng tổng quát)
A=44.44488.889 ( n số 4 ; n-1 số 8 ; 1 số 9)

= 44.....444 +44...4+1 ( vế đầu có 2n số 4 ; vế 2 có n số 4 )

\(=4.\dfrac{10^{2n}-1 }{9}+4.\dfrac{10^n-1}{9}+1=\dfrac{4.10^{2n}-4+4.10^n-4+9}{9}=\dfrac{\left(2.10^n\right)^2+2.\left(2.10^n\right).1+1}{9}=\dfrac{\left(2.10^n+1\right)^2}{9}=\left(\dfrac{2.10^n+1}{3}\right)^2\)

Vì 2.10ⁿ+1 luôn chia hết cho 3 . Nên A là scp