Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Alice dono

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn đẳng thức \(\sqrt{x+y}=\sqrt{z+x}+\sqrt{y+z}\)

CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

Trần Minh Hoàng
29 tháng 7 2020 lúc 16:51

ĐK: \(x+y;y+z;z+x\ge0\).

Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho ta được:

\(x+y=z+x+y+z+2\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}=-z\) (1).

Đến đây ta có \(z\le0\).

Do đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(y+z\right)=z^2\Leftrightarrow zx+yz+xy=0\).

Đến đây dễ có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\).


Các câu hỏi tương tự
Ánh Dương
Xem chi tiết
NGUYEN ANH
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Đặng Minh An
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Bảo Quang
Xem chi tiết
Hà Trần
Xem chi tiết
hello sunshine
Xem chi tiết