\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\)
\(⇔ c.( a+b)= ab
\)
\(⇔ ab-ac-bc= 0\)
\(⇔ a.( b-c)-c.( b-c)= c²\)
\(⇔ ( a-c).( b-c)= c²\)
Gọi \(( a-c; b-c)= d
\)
\(⇒ c²⋮ d²
⇒ c⋮ d\)
\(Mà: a-c⋮ d, b-c⋮ d ⇒ a⋮ d, b⋮ d\)
\(Mà ( a; b; c)= 1 ⇒ d= 1\)
Ta có: \(( a-c).( b-c)\) là số chính phương \( ( =c²)\)
Mà \(( a-c; b-c)= 1 ⇒ a-c \) và \(b-c\) là 2 số chính phương
Đặt \(a-c= x²\)
Và: \(b-c=y^2\)
\(⇒ c²= xy² ⇒ c= xy\)
Ta có: \(a+b= a-c+b-c-2c= x²+y²-2xy= ( x-y)²\)
\(⇒ a+b\) là số chính phương ( đpcm)
