Question

Cho 3 số a,b,c khác nhau và đôi một khác nhau và thỏa mãn a+b+c=0

Tính giá trị biểu thức: \(Q=\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}\right)\)

Answer 1

Nguyễn Trương Nguyễn Việt Lâm Nguyen Khôi Bùi Truong Viet Truong Akai Haruma DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

Answer 2

Từ đề bài \(\Rightarrow a;b;c\ne0\)

Đặt \(A=\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}\)

\(\Rightarrow Q=A.\dfrac{a}{b-c}+A.\dfrac{b}{c-a}+A\dfrac{c}{a-b}\)

Ta có \(\dfrac{a}{b-c}.A=\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c^2-b^2+ab-ac}{bc}\right)\)

\(=\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{\left(b-c\right)\left(a-b-c\right)}{bc}\right)=1+\dfrac{2a^3}{abc}\) (do \(a-b-c=2a\))

Tương tự: \(A.\dfrac{b}{c-a}=1+\dfrac{2b^3}{abc};A.\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{2c^3}{abc}\)

\(\Rightarrow Q=3+\dfrac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Mà do \(-c=a+b\):

\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)\left(\left(a+b\right)^2-3ab\right)+c\left(c^2-3ab\right)+3abc\)

\(=-c\left(c^2-3ab\right)+c\left(c^2-3ab\right)+3abc=3abc\)

\(\Rightarrow Q=3+\dfrac{2}{abc}.3abc=3+6=9\)