Question

Cho 3 số a, b, c dương thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a.b.c

Answer 1

\(\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\) ; \(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

Nhân vế với vế:

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

\(P_{max}=\frac{1}{8}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)