Question

cho 2 số a,b là các số nguyên dương. chứng minh nếu tích(18a+13b)(4a+6b)chia hết cho 35 thì tích đó có ít nhất 1 ước là số chính phương\

Answer 1

Thêm đk ước chính phương khác 1 sẽ chặt chẽ hơn nhé

Do (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 35

=> (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 7

<=> (18a+13b).2.(2a+3b) chia hết cho 7

Mà (2;7)=1 nên (18a+13b)(2a+3b) chia hết cho 7

Lại thấy 7 là số nguyên tố nên 18a+13b hoặc 2a+3b chia hết cho 7

Đặt A=18a+13b; B=2a+3b

Xét hiệu: 9B-A=9.(2a+3b)-(18a+13b)

= 18a+27b-18a-13b = 14b chia hết cho 7 (1)

+ Nếu A chia hết cho 7, từ (1) => 9B chia hết cho 7

Mà (9;7)=1 => B chia hết cho 7

Do đó, 2AB = (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 7²

+ Nếu B chia hết cho 7 từ (1) => A chia hết cho 7

=> 2AB = (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 7²

Như vậy, trong cả 2 trường hợp ta đều có (18a+13b)(4a+6b) có ít nhất 1 ước chính phương là 7² (đpcm)