Chương II - Hàm số bậc nhất

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dương minh tuấn

cho \(1< x< 2\) . tìm GTNN của biểu thức:

\(S=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}\)

Phương Ann
17 tháng 2 2018 lúc 17:03

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(S=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\times\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}\times\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}}\)

\(=\dfrac{3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{3}{-x^2+3x-2}\)

\(-x^2+3x-2=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

nên \(S\ge\dfrac{3}{\dfrac{1}{4}}=12\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}=\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}\\x-\dfrac{3}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\left(\text{ nhận }\right)\)

Vậy \(Min_S=12\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Hoàng Phước
Xem chi tiết
Ngô Chí Thành
Xem chi tiết
Trần Phương Thảo
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Trần Phương Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Anh Kiệt
Xem chi tiết
Trần Phương Thảo
Xem chi tiết
Việt Hồ Trần
Xem chi tiết
Thanh Hân
Xem chi tiết