Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Băng Băng

Chmr nếu:

\(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\) với \(x\ne y,yz\ne1,xz\ne1,x\ne0,y\ne0,z\ne0\)

thì: \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Lê Thị Thục Hiền
6 tháng 10 2019 lúc 14:02

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau có:

\(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}=\frac{x^2-yz-y^2+xz}{x-xyz-y\left(1-xz\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)}{x-xyz-y+xyz}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)}{x-y}=x+y+z\)

=> \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=x+y+z\)

<=> \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}-\frac{\left(x+y+z\right)x\left(1-yz\right)}{x\left(1-yz\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2-yz-\left(x^2+yx+zx\right)\left(1-yz\right)}{x\left(1-yz\right)}\)=0

<=> \(x^2-yz-x^2+x^2yz-xy+xy^2z-xz+xyz^2=0\)

<=> \(-yz-xy-xz+xyz\left(x+y+z\right)\)=0

<=> \(xyz\left(x+y+z\right)=yz+xy+xz\)

<=>\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)( chia cả hai vế cho xyz với x,y,z khác 0)


Các câu hỏi tương tự
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Hoàng Trần Trà My
Xem chi tiết
Lê Thị Mai
Xem chi tiết
Tdq_S.Coups
Xem chi tiết
Tdq_S.Coups
Xem chi tiết
Lê Ngọc Phương Anh
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết