Question

ch a,b là các số thức khác 0, thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\)

Chứng minh rằng ít nhất trong 1 trong 2 phương trình có nghiệm

x²-ax-2b=0

x²-bx-2a=0

Answer 1

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\Rightarrow b=\dfrac{1}{4-\dfrac{1}{a}}=\dfrac{1}{4}-a\)

+Xét pt \(x^2-ax-2b=0\)

\(\Delta_1=a^2+4b=a^2+4\left(\dfrac{1}{4}-a\right)=a^2-4a+1\)

+ Xét pt \(x^2-ax-2b=0\)

\(\Delta_2=b^2+4a=a^2+\dfrac{7}{2}a+\dfrac{1}{16}\)

Vì \(\Delta_1+\Delta_2=2a^2-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{17}{16}>0\)

nên \(\Delta_1\) >/ 0 hoặc \(\Delta_2\) >/ 0 hoặc \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) > 0

vậy ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm