Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm D, kẻ DN
vuông góc với AC và DM vuông góc AB . Kẻ đường cao AH của tam giác ABC .
a. Tứ giác AMDN là hình gì ? Vì sao?
b. Tìm vị trí điểm D trên cạnh BC thì MN có độ dài nhỏ nhất ? vẽ hình đúng
với vị trí của điểm D đó?
c. Tính số đo góc MHN ?
Câu 2:
a) Tìm các giá trị x ; y nguyên dương sao cho 9xy +3x +3y =51
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15
Câu 2:
\(9xy+3x+3y=51\\ \Leftrightarrow\left(9xy+3x\right)+\left(3y+1\right)=52\\ \Leftrightarrow3x\left(3y+1\right)+\left(3y+1\right)=52\\ \Leftrightarrow\left(3x+1\right)\left(3y+1\right)=52\)
Lập bảng giá trị :
| \(3x+1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(13\) | \(26\) | \(52\) |
| \(x\) | \(0\left(loại\right)\) | \(\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\) | \(1\) | \(4\) | \(\dfrac{25}{3}\left(loại\right)\) | \(17\) |
| \(3y+1\) | \(52\) | \(26\) | \(13\) | \(4\) | \(2\) | \(1\) |
| \(y\) | \(17\) | \(\dfrac{25}{3}\left(loại\right)\) | \(4\) | \(1\) | \(\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\) | \(0\left(loại\right)\) |
Vậy cặp số nguyên dương \(\left\{x;y\right\}=\left\{4;1\right\};\left\{1;4\right\}\)
\(\text{ b) }N=x^2+5y^2-4xy+6x-14y+15\\ =\left(x^2+4y^2+9-4xy+6x-12y\right)+\left(y^2-2y+1\right)+5\\ =\left(x-2y+3\right)^2+\left(y-1\right)^2+5\)
Do \(\left(y-1\right)^2\ge0\forall x\)
\(\left(x-2y+3\right)^2\ge0\forall x\\ \Rightarrow\left(x-2y+3\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x\\ \Rightarrow N=\left(x-2y+3\right)^2+\left(y-1\right)^2+5\ge5\forall x\)
Dấu \("="\) xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(y-1\right)^2=0\\\left(x-2y+3\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+3=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=2y-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(N_{Min}=5\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\text{a) Ta có : }\widehat{DMA}=90^0\left(DM\perp AB\right)\\ \widehat{DNA}=90^0\left(DN\perp AC\right)\\ \widehat{MAN}=90^0\left(gt\right)\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }AMDN\text{ có }:\widehat{DMA}=\widehat{DNA}=\widehat{MAN}=90^0\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }AMDN\text{ là hình chữ nhật }\left(\text{Dấu hiệu nhận biết}\right)\)
\(\text{b) Ta có : }AH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AD\ge AH\left(Tính\text{ chất đường xiên}\right)\\\text{Mà }AD=MN\left(\text{Tính chất đường chéo hình chữ nhật}\right)\\ \Rightarrow MN\ge AH\)
Dấu "='' xảy ra khi:
\(AH\equiv AD\Rightarrow H\equiv D\)
Vậy đoạn thẳng MN nhận giá trị nhỏ nhất khi \(H\equiv D\)
c) Gọi I là giao điểm cuả \(MN;AD\)
=> I là trung điểm của \(MN;AD\)
=> HI là đường trung tuyến ứng với AD của \(\Delta AHD\).
=> HI là dường trung tuyến ứng với \(MN\) của \(\Delta MHN\).
\(\Rightarrow HI=\dfrac{1}{2}AD\left(\text{Tính chất đướng trung tuyến ứng với cạnh huyển trong }\Delta\text{ vuông}\right)\\ \text{Mà }MN=AD\left(Tính\text{ chất đường chéo hình chữ nhật}\right)\\ \Rightarrow HI=\dfrac{1}{2}MN\\ \Rightarrow\Delta MHN\text{ vuông tại }H\left(\text{Có đường trung tuyến bằng }\dfrac{1}{2}\text{ cạnh huyền}\right)\\ \Rightarrow\widehat{MHN}=90^0\)
