Question

Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trình \(\left(m-2\right)\sqrt{x+3}+\left(2m-1\right)\sqrt{1-x}+m-1=0\)có nghiệm là đoạn [a;b]. Tính giá trị biểu thức S=2019b-2020a-172

Answer 1

\(-3\le x\le1\)

Pt tuơng đương:

\(\left(2m-4\right)\sqrt{\dfrac{x+3}{4}}+\left(4m-2\right)\sqrt{\dfrac{1-x}{4}}+m-1=0\) (1)

Do \(\left(\sqrt{\dfrac{x+3}{4}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{4}}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+3}{4}}=sint\\\sqrt{\dfrac{1-x}{4}}=cost\end{matrix}\right.\) với \(0\le t\le\dfrac{\pi}{2}\)

Pt (1) trở thành: \(\left(2m-4\right)sint+\left(4m-2\right)cost+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow2msint+4mcost+m=4sint+2cost+1\)

\(\Leftrightarrow m\left(2sint+4cost+1\right)=4sint+2cost+1\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4sint+2cost+1}{2sint+4cost+1}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{4sint+2cost+1}{2sint+4cost+1}\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{2\left(cost+sint\right)+12}{\left(2sint+4cost+1\right)^2}>0\) \(\forall t\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)\le f\left(t\right)\le f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{3}\)

Vậy để pt có nghiệm thì \(\dfrac{3}{5}\le m\le\dfrac{5}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{5}\\b=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=1981\)