Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quoc Tran Anh Le

Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:

[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

[Toán.C45 _ 3.2.2021]

Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bà Rịa - Vũng Tàu, 2019-2020: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y\le3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}\).

[Toán.C46 _ 3.2.2021]

Trích câu 10, đề thi tuyển sinh THPT Bắc Ninh, 2019-2020: Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn \(a^2+b^2=2.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\dfrac{a^3+b^3+4}{ab+1}\).

[Toán.C47 _ 3.2.2021]

Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Bình Định, 2019-2020: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\).

[Toán.C48 _ 3.2.2021]

Trích câu 5, đề thi tuyển sinh THPT Đắc Lắc, 2019-2020: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x + 2y + 3z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

\(S=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)

Trần Minh Hoàng
3 tháng 2 2021 lúc 19:40

C47: Dễ thấy x > 1.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(P=\dfrac{x^2+\dfrac{1}{x^2}}{x-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x^4+1}{x^3-x}=\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{x^3-x}+\dfrac{2x^2}{x^3-x}=\dfrac{x^2-1}{x}+\dfrac{2x}{x^2-1}\ge2\sqrt{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-1}{x}=\dfrac{2x}{x^2-1}\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\end{matrix}\right.\).

Vậy Min P = \(2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\end{matrix}\right.\)

 

 

Trần Minh Hoàng
3 tháng 2 2021 lúc 19:44

C48: Đề bài là tìm GTLN chứ nhỉ?

Đặt x = a; 2y = b; 3z = c (a, b, c > 0). Khi đó a + b + c = 2.

Ta có \(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)

\(\le_{AM-GM}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{b+a}\right)=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{2}{9}\).

Vậy Max S = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{2}{9}\).

 

Quoc Tran Anh Le
3 tháng 2 2021 lúc 17:53

Các anh chị giáo viên box Toán đánh giá câu trả lời của các bạn giúp em nhé :>

svtkvtm
3 tháng 2 2021 lúc 20:23

nhiều bất quá k chs đc :/

em chưa học cái dạng nào mà nó như thế này cả

Nguyễn Trọng Chiến
5 tháng 2 2021 lúc 8:06

C46 Tìm GTNN:

\(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=1\) (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

 Ta chứng minh bất đẳng thức phụ : \(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^4+a^3b+b^3a+b^4\ge a^4+2a^2b^2+b^4\) \(\Leftrightarrow a^3b+b^3a\ge2a^2b^2\Leftrightarrow ab\cdot\left(a-b\right)^2\ge0\) (Hiển nhiên vì a,b>0)

\(a^3+b^3\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b}\ge\dfrac{4}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}=\dfrac{4}{\sqrt{4}}=2\) 

\(\Rightarrow M=\dfrac{a^3+b^3+4}{ab+1}\ge\dfrac{2+4}{1+1}=3\) Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

tthnew
7 tháng 2 2021 lúc 18:46

Câu 45.

\(P=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}\ge\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}+\dfrac{3}{20}\left(x+y-3\right)\)

\(=\left[\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{20}y+\dfrac{1}{5xy}\right]+\left[\dfrac{1}{20}\left(x+2y+5\right)+\dfrac{5}{x+2y+5}\right]-\dfrac{7}{10}\)

\(\ge\left(\dfrac{\sqrt{2xy}}{20}+\dfrac{\sqrt{2xy}}{20}+\dfrac{1}{5xy}\right)+2\sqrt{\dfrac{1}{20}\left(x+2y+5\right)\cdot\dfrac{5}{x+2y+5}}-\dfrac{7}{10}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\left(\dfrac{\sqrt{2xy}}{20}\right)^2\cdot\dfrac{1}{5xy}}+2\sqrt{\dfrac{5}{20}}-\dfrac{7}{10}\)

\(=\dfrac{3}{10}+1-\dfrac{7}{10}=\dfrac{3}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=1,y=2\)

Note.

Mấu chốt của lời giải này là tìm ra được điểm rơi $x=1,y=2.$ Có thể làm như sau:

Xét hàm \(f\left(x,y\right)=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}+k\left(x+y-3\right)\)

Cách 1. Ta thấy điểm cực trị của $f(x,y)$ là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\partial F}{\partial x}=0\\\dfrac{\partial F}{\partial y}=0\\x+y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1,y=2,k=\dfrac{3}{20},\) từ đây lý giải được tại sao lại có cách cộng thêm \(\dfrac{3}{20}\left(x+y-3\right)\) như lời giải bên trên.

Ngoài ra còn một cách khác để tìm điểm rơi như sau.

\(F(x,y)=\left[ \left( k-m \right) x+ \left( k-2\,m \right) y+\dfrac{1}{5xy}\right]+\left[m(x+2y+5)+\dfrac{5}{x+2y+5}\right]-3k-5m\)

Sau khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta thấy đẳng thức phải đạt tại

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(k-m\right)x=\left(k-2m\right)y\\\sqrt{\left(k-m\right)\left(k-2m\right)xy}=\dfrac{1}{5xy}\\m\left(x+2y+5\right)=\dfrac{5}{x+2y+5}\end{matrix}\right.\) và \(x+y=3\) (cái này do ta dự đoán)

Sau khi giải hệ khá cồng kềnh bên trên ta thu được \(x=1,y=2,k=\dfrac{3}{20},m=\dfrac{1}{20}\)

P/s: Ez game:D Và cách tìm điểm rơi thứ $2$ dễ hơn cách 1 cả về mặt kiến thức lẫn áp dụng, vì chỉ cần tìm xong thế ngược $m,k$ lại là ta thu được lời giải. Vả lại HS THCS chưa được học nhân tử Langrange nên chắc chắn cách $2$ là phù hợp nhất.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Trương Huy Hoàng
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết